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原创数学家表明了矮维度空间的一些对称性质不存在
浏览:164 发布日期:2020-06-23

原标题:数学家表明了矮维度空间的一些对称性质不存在

原文作者,Kevin Hartnett,《量子》杂志高级编辑。

翻译作者,独走者,哆嗒数学网翻译构成员。

校对:Math001

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罗伯特·齐默(Robert Zimme)师长被人另眼相望了。自2006年担任芝添哥大私塾长最先,他由于获得九位数字的捐款以及发外很众关于珍惜校园言论解放的文章而登上各大报纸的头条。但在担任芝添哥大私塾长之前,齐默师长是一位数学家。在他将学术钻研放到一面很久以后,齐默师长曾经推动的钻研终于产出了收获。

2017年,一个三位数学家构成的团队解决了名为齐默推想的题目,这个题目重要是钻研在某些情形下几何空间会表现出某栽特定的对称性。他们的表明是近几年来最大的数学收获之一。这个题目是齐默在20世纪70年代后期到20世纪80年代前期学术活跃期间挑出的,现现在这个题目得到晓畅决。

齐默说,“吾想说的是,在这五年期间,吾对这个题目日思夜想,它每镇日都在困扰着吾。以是,这个题目让吾迂回逆侧。现现在,吾很起劲地望到这个题目得到解决。”

清淡而言,吾们清淡认为几何空间的维度越众,对称性特征也就越众。比如,你能够去比较二维平面上的圆和三维空间中的球:旋转球的手段就比旋转圆的手段要众得众。这就是由于球的额外维度使得球有了更众的对称性。

齐默推想关注点重要是在某栽特定类型的对称性,这清淡被称之为高阶格(higher-rank lattice)。这个推想关注了以下题目:一个几何空间的维度是否会节制对这些类型对称性产生。芝添哥大学的阿伦·布朗教授(Aaron Brown)和赛巴斯挑安·乌尔塔众·萨拉查教授(Sebastian Hurtado-Salazar)和印第安纳大学的大卫·费希尔教授(David Fisher)的最新钻研外明,只要矮于某一维度,某些稀奇的对称性就不能够存在。这也就表明了齐默推想是正确的。

睁开全文

他们的钻研解决了一个永远以来困扰数学界的题目,同时也开辟了新的钻研倾向。它展现了几何空间中的内在特性。对称性是晓畅这些空间最基本的特征之一。这项新钻研能够用比较实在的话来讲:这些对称特征能存在某一栽空间中,但对于其它空间是不存在的。齐默推想长达数十年间都异国取得突破,现在解决以后,数学家们便有了新的发现和收获。

在今年年头构造的一场关于新表明的会议上,芝添哥大学数学教授艾米·威尔金森(mie Wilkinson)外示:“这个推想还能够让数学界钻研和分析上很长一段时间。他们就这个题目挑出了一个较为浅易的手段。”

对称性的知足

对称性是人们从孩挑时期的数学中便接触到的几何学概念。经由过程脱手分析,孩子们便晓畅由于对称性,图形能够旋转、翻转和平移,末了得到的图形和最最先是相反的。图形的这栽在转折中保持不变的特性知足了某栽内在特点——它展现了宇宙法则中的某栽深切涵义。

在数学中,数学家们用本身特定的规范性说话来钻研对称性。这栽说话为他们挑供了特意实在的手段来描述在给定的几何空间中一切差别的对称性。

比如说,正方形有八个对称变换——也就是说有八栽手段能够将正方形翻转、旋转成正本的图形。而对于圆来说,圆按肆意角度旋转之后依旧是圆;它有众数个对称变换。数学家把特定几何对象或空间所具有的对称性统统归类在一首,称之为“群”。

群正本就是特意有价值的钻研对象。群清淡会出现在特定几何空间的钻研中,但是他们也会出现在非几何周围中。比如,数的荟萃也能够构成群。(比如说:考虑如下的对称性,例如给一个数 5或-5。)

齐默说:“理论上,各类事物的对称性都能够用群来外达。”

现在吾们商议的对称性和吾们在幼学时所学到的相差甚远。比如,参考格的对称性。最浅易的格就是一个二维网格。在平面上,你能够将这块网格去上、下、左、右的倾向平移肆意方块的距离, 然后得到一个它十足相通大幼的网格。你还能够对网格内任何单独的正方形进走对称变换。这栽有相通格的空间,清淡而言会有无穷个五花八门的对称变换。

这栽能够存在任何维度的空间里。在三维空间里,格就是一个个正方体,而不是正方形。在四维或更高维度的空间里,吾们就无法画出这栽格了,但是性质是相通的。数学家能够用本身的说话进走实在描述。齐默推想的关注对象重要就是这些特定维度的。“倘若你能够望到这些网格,这些清新的格会稀奇时兴。尽管吾望不到。”乌尔塔众-萨拉查教授说,“吾推想倘若它们能表现在吾们现时,他们的形状肯定稀奇时兴。”

早在二十世纪,数学家们便在很众的周围中发现对称性质,不光在几何学,还有数论周围,逻辑学和计算机科学。当新的一个新群被发现以后,吾们就自然而然地会问到——一个怎样的空间会对答这个群描述的对称?

未必候是特意清晰的,一些群不克行使到特定的空间中去。比如,工程设计吾们就很快晓畅圆的对称群不克行使到正方形中。就比如说,倘若将正方形旋转10°,你就不克得到正本的谁人正方形了。但是倘若在一个有众数个对称轴的群中和一个有众重维度的空间里进走钻研,吾们很难确定哪些群的元素对答着空间的变换,而哪一些则不是。

齐默说:“由于在高维度的情况下,你由此得到的群会愈发复杂,题目的解决也就变得更添难得。”

疏松的有关

当吾们分析对称性的时候,吾们所想象到的是,整个图形正在进走旋转,就像一个正方形按顺时针倾向转90°。在一个比较微不悦目的层级中去不悦目察,对称性与点的活动有亲昵的有关。按对称性将空间进走变换意味着将空间上的每一个点移动到空间的另外一处。在这栽视角下,将正方形顺时针旋转90°的真实意义是:考虑正方形上的每一个点,然后将它顺时针旋转90°,如许每个点就移动到了新的边上,这些点首先出现在与初首位置差别的边上。

或众或少的,吾们都是用刚性的手段来进走移动。最熟识的一些对称操作——经由过程对角线进走镜面变换,或者旋转90°——都特意刚性的。他们之以是刚性的是由于他们并异国对点进走扭曲。镜面变换前在顶角上的点在变换以后依旧顶角上的点(只不过是差别的顶角),镜面变换前在边上的点在变换以后依旧边上的点(只不过是差别的边上)。

但是,在实际上,还有很众更为变通的对称变换类型,这也是齐默推想所感趣味的地方。在这些变换中,点会被最大限度的重组;他们在变换的过程当中不会十足按照他们在变换前的位置有关。例如你能够将正方形的每一个点都围绕着移动三个单位——这依旧知足了一个对称变换的基本请求,它将空间上的每一个点都移动到了新的位置。新表明的配相符者艾伦·布朗借助球的模型来注释这栽不受收敛的变换手段。

布朗称:“你能够试着将球的南北两极向相逆倾向拉扯,球上的距离和点之间的距离会添大。”

当你在商议一个网格时,除了平移平面中的网格,你还能够对网格进走扭曲,或者在某些地方进走扭曲,而在其他地方进走拉伸,这就使得转换后的网格不再与正本的网格十足重相符。这些变换就异国那么刚性了,他们被称之为微分同胚。

在他的推想当中,齐默有特意益的理由认为这栽更为软性的变换是有意义的。在20世纪60年代,格里戈里·马尔古利斯(Grigory Margulis)对在齐默的推想当中涉及的这栽高维格进走了钻研。马尔古利斯也由于这项做事由此获得了菲尔兹奖。当请求只进走刚性的变换时,哪些空间能够由这些高维格转换而来,马尔古利斯给出了这栽空间一切知足的条件。

因此,齐默推想是对马尔古利斯钻研的自然延迟。他便是最先于高维格架构变换得以实现的空间——马尔古利斯所找到的空间——并不息深入探讨倘若批准不那么刚性的变换,也就是在放宽变换的条件之后,这个荟萃是否会进一步膨胀。

在他们新的钻研当中,三位数学家们表明了当高维格的放宽对对称性的定义以后,广义的对称性特征并异国内心转折。即使格进走不规则的空间变换时——比如剪切、曲曲、拉伸——高维格依旧被节制在它们所在的空间中。

费希尔说:“由于在这个题目上添了那么众的变通性之后,你就有了一栽直不悦目的感受,这些高维格群能作用于任何空间上。以是,吾们很惊讶的发现,答案是偏差的。在某栽情况下,他们不克作用于任何空间上。”

这几位数学家们在空间的维度和能作用在其上的高维格维度(或秩)之间竖立了有关。他们表明了在清淡情况下格的维度越高,空间的维度也答该越高,如许才能对格的对称性产生作用。在高维空间里,即使有特意益的空间变换变通性,高维格的变换依旧受到高维空间的节制。

威尔金森说:“这就通知了吾们,空间将物体配相符在一首会有一些特意基础的特性,这栽特性使得他们能够产生这些变换。”

齐默推想只是解决一个大题目的第一步。经由过程解决这个推想,这个题目的钻研者们对这些高维格能做用的空间给出了一个不详的节制条件。下一步是更添伟大的计划,钻研者将关注在这些空间中格是如何展现的,接着将这些格在空间中变换的手段进走分类。

齐默说:“这项计划末了是要分清新一切这些手段。在你现在所望到的题目之外还有更乐趣的,有一些空间中,格是不克保持对称性的。但乐趣的题目则远远超出了这些内容。”

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